Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen: Eine Einführung by Jürgen Appell PDF

By Jürgen Appell

ISBN-10: 3540889027

ISBN-13: 9783540889021

Das Buch gibt in sechs Kapiteln eine Einführung in die Theorie der reellen Funktionen einer und mehrerer Variabler. Hierbei stehen nicht so sehr abstrakte Ergebnisse im Vordergrund, sondern es werden besonders viele Beispiele und Gegenbeispiele präsentiert, anhand derer guy die Bedeutung mathematischer Sätze besonders intestine erkennen kann.

In den ersten drei Kapiteln werden die wesentlichen Ergebnisse über stetige, differenzierbare und integrierbare Funktionen zusammengestellt.

Das vierte Kapitel geht etwas über den üblichen Analysisstoff hinaus und ist "merkwürdigen" Teilmengen der reellen Achse und zugehörigen Funktionen gewidmet. Funktionen mehrerer Variabler werden im fünften und sechsten Kapitel behandelt.

Zum Verständnis des Buches genügt die Kenntnis einiger Grundbegriffe der Elementarmathematik (Mengen, Aussagen, Relationen, Funktionen, Induktion), wie sie in vielen Einführungskursen im ersten Semester vermittelt werden. Über die starke Betonung von Beispielen hinaus ist ein weiteres Merkmal des Buches die große Anzahl von Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels. Es ist daher auch sehr intestine als Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung geeignet.

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Diese Frage lässt sich tatsächlich vollständig und sogar recht einfach beantworten. 22. 23. Jede abzählbar unendliche Menge M = {x1 , x2 , x3 , . } (z. B. M = Q) ist eine Fσ -Menge, weil man sie als abzählbare Vereinigung der einpunktigen abgeschlossenen Mengen {xn } (n = 1, 2, 3, . ) darstellen kann. 7 in Kapitel 4 sehr elegant beweisen. Trivialerweise ist jede abgeschlossene Menge eine Fσ -Menge. Aber auch offene und halboffene Intervalle sind Fσ -Mengen; so können wir z. B. das Intervall (a, b) in der Form ∞ (a, b) = a + n1 , b − 1 n n=1 darstellen, und ähnlich auch die Intervalle [a, b) und (a, b].

F (x1 ) ≥ f (x2 ) bzw. f (x1 ) < f (x2 ) bzw. f (x1 ) > f (x2 )] folgt. Ist f monoton wachsend oder fallend, so nennen wir f einfach monoton, und ist f streng monoton wachsend oder fallend, so nennen wir f einfach streng monoton. Die Menge aller auf M monotonen Funktionen bezeichnen wir mit M on(M ). y y x x Abb. 10 monoton wachsend, allerdings nicht streng monoton wachsend. 13 ist monoton wachsend, wenn M ein Intervall der Form [a, ∞) oder (a, ∞) ist, und monoton fallend, wenn M ein Intervall der Form (−∞, b] oder (−∞, b) ist.

In der Schreibweise Fσ soll das F für das französische Wort fermé (= abgeschlossen) stehen, während das σ an das Wort Summe (= Vereinigung) erinnern soll. 16), dass abzählbare Vereinigungen und endliche Durchschnitte von Fσ -Mengen wieder Fσ -Mengen sind. 24. Sei M = O ∩ A Durchschnitt einer offenen Menge O ⊆ R und einer abgeschlossenen Menge A ⊆ R. 17 und der Bemerkung oben können wir folgern, dass dann sowohl M als auch R \ M eine Fσ -Menge ist. Man kann fragen, ob die Umkehrung auch gilt, d. : Sei M eine Fσ Menge, deren Komplement R \ M auch eine Fσ -Menge ist; können wir M dann als Durchschnitt einer offenen und einer abgeschlossenen Menge darstellen?

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by Thomas
4.5

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